В общей кухне
— Пополам,- поспешил заявить кто-то. Бестопливный пользовался их огнем в равной мере.
— Ну, нет, — возразил другой, — надо принять в соображение, как участвовали в этом огне дровяные вложения гражданок. Кто дал 3 полена, должен получить 3 копейки; кто дал 5 полен – получает 5 копеек. Вот это будет справедливый дележ.
— Товарищи, — взял слово тот, кто затеял игру и считался теперь председателем собрания. — Окончательные решения головоломок давайте пока не объявлять. Пусть каждый еще подумает над ними. Правильные ответы судья огласит нам за ужином. Теперь следующий. Очередь за вами, товарищ пионер!
Нельзя считать, как многие делают, что 8 копеек уплачено за 8 полен, по 1 копейке за полено. Деньги уплачены только за третью часть от 8 полен, потому что огнем пользовались трое в одинаковой мере. Отсюда следует, что все 8 полен оценены были в 8 х 3, т. е. в 24 к., и цена одного полена - 3 копейки.
Теперь легко сообразить, сколько причитается каждому. Пятеркиной за ее 5 полен следует 15 копеек; но она сама воспользовалась плитой на 8 копеек; значит, ей остается дополучить еще 15-8, т. е. 7 копеек. Тройкина за три свои полена должна получить 9 копеек, а если вычесть 8 копеек, причитающихся с нее за пользование плитой, то следовать ей будет всего только 9—8, т. е. 1 копейка.
Итак, при правильном дележе Пятеркина должна получить 7 копеек, Тройкина - 1 копейку.
Работа школьных кружков
В нашей школе,начал пионер, — имеется 5 кружков: слесарный, столярный, фотографический, шахматный и хоровой. Слесарный кружок занимается через день, столярный — через 2 дня на 3-й, фотографический — каждый 4-й день, шахматный — каждый 5-й день и хоровой - каждый 6-й день. Первого января собрались в школе все 5 кружков, а затем занятия велись в назначенные по плану дни, без отступлений от расписания. Вопрос состоит в том, сколько в первом квартале было еще вечеров, когда собирались в школе все 5 кружков.
— А год был простой или високосный? - осведомились у пионера.
Простой.— Значит, первый квартал, — январь, февраль март, — надо считать за 90 дней?
— Очевидно.
— Позвольте к вопросу вашей головоломки присоединить еще один, — сказал профессор. — А именно: сколько в том же квартале года было таких вечеров, когда кружковых занятий в школе вовсе не происходило?
— Ага, понимаю! - раздался возглас. - Задача с подвохом. Ни одного дня не будет больше с 5 кружками в ни одного дня без всяких кружков. Это уж ясно!
— Почему? — спросил председатель.
— Объяснить не могу, но чувствую, что отгадчика Котят поймать впросак.
— Ну, это не довод. Вечером выяснится, правильно ли ваше предчувствие. За вами очередь, товарищ!
На первый вопрос — через сколько дней в школе соберутся одновременно все 5 кружков — мы легко ответим, если сумеем разыскать наименьшее из всех чисел, которое делится без остатка на 2, на 3, на 4, на 5 и на 6. Нетрудно сообразить, что число это 60. Значит, на 61-й день соберется снова 5 кружков: слесарный — через 30 двухдневных промежутков, столярный - через 20 трехдневных, фотокружок - через 15 четырехдневных, шахматный — через 12 пятидневок и хоровой — через 10 шестидневок. Раньше чем через 60 дней такого вечера не будет. Следующий подобный же вечер будет еще через 60 дней, т. е. уже во втором квартале.
Итак, в течение первого квартала окажется только один вечер, когда в клубе снова соберутся для занятий Все 5 кружков.
Хлопотливее найти ответ на второй вопрос задачи: сколько будет вечеров, свободных от кружковых занятий? Чтобы разыскать такие дни, надо выписать по порядку все числа от 1 до 90 и зачеркнуть в этом ряду дни работы слесарного кружка, т. е. числа 1, 3, 5, 7, 9 и т. д. Потом зачеркнуть дни работы столярного кружка: 4-й, 7-й, 10-й, и т. д. После того как зачеркнем затем дни занятий фотокружка, шахматного и хорового, у нас останутся не зачеркнутыми те дни первого квартала, когда ни один кружок не работал.
Кто проделает эту работу, тот убедится, что вечеров, свободных от занятий, в течение первого квартала будет довольно много: 24. В январе их 8, а именно: 2-го, 8-го, 12-го, 14-го, 18-го, 20-го, 24-го и 30-го. В феврале насчитывается 7 таких дней, в марте — 9.
Дед и внук
— Разумеется, невозможно, — вставил чей-то голос.
— Представьте, что вполне возможно. Дед доказал мне это. Сколько же лет было каждому из нас?
С первого взгляда может действительно показаться, что задача неправильно составлена: выходит как будто, что внук и дед одного возраста. Однако, требование задачи, как сейчас увидим, легко удовлетворяется.
Внук, очевидно, родился в XX столетии. Первые две цифры года его рождения, следовательно, 10: таково число сотен. Число, выражаемое остальными цифрами, будучи сложено с самим собою, должно составить 32. Значит, это число 16: год рождения внука 1916, и ему в 1932 г. было 16 лет.
Дед его родился, конечно, в XIX столетии; первые две цифры года его рождения 18. Удвоенное число, выражаемое остальными цифрами, должно составить 132. Значит, само это число равно половине 132, т. е. 66. Дед родился в 1866 г. и ему в 1932 году было 66 лет.
Таким образом, и внуку и деду в 1932 г. было столько лет, сколько выражают последние две цифры годов их рождения.
Железнодорожные билеты
— Я – железнодорожная кассирша, продаю билеты, — начала следующая участница игры.- Многим это кажется очень простым делом. Не подозревают, с каким большим числом билетов приходится иметь дело кассиру даже маленькой станции. Ведь необходимо, чтобы пассажиры могли получить билеты от данной станции до любой другой на той же дороге, притом в обоих направлениях. Я служу на дороге с 25 станциями. Сколько же, по-вашему, различных образцов билетов заготовлено железной дорогой для всех ее касс?
— Ваша очередь, товарищ летчик, провозгласил председатель.
На каждой из 25 станций пассажиры могут требовать билет до любой станции, т. е. на 24 пункта. Значит, разных билетов надо напечатать 25 x 21600 образцов.
Если же пассажиры могут приобретать не только прямые билеты («туда»), но, при желании, и обратные («туда-обратно»), то число образцов билетов возрастет еще вдвое, т. е. их потребуется 1200.
Арифметический фокус
Мне приходится выступать последним, двенадцатым. Для разнообразия покажу вам арифметический фокус и попрошу раскрыть его секрет. Пусть кто-нибудь из вас, хотя бы вы, товарищ председатель, напишет на бумажке, тайно от меня, любое трехзначное число.
— Могут быть и нули в этом числе?
— Не ставлю никаких ограничений. Любое трехзначное число, какое пожелаете.
— Написал. Что теперь?
— Припишите к нему это же число еще раз. У вас получится, конечно, шестизначное число.
— Есть. Шестизначное число.
— Передайте бумажку соседу, что сидит подальше от меня. А он пусть разделит это шестизначное число на семь.
— Легко сказать; разделить на семь! Может и не разделится.
— Не беспокойтесь, поделится без остатка. — Числа не знаете, а уверены, что поделится. — Сначала разделите, потом будем говорить. — На ваше счастье разделилось.
Результат вручите своему соседу, не сообщая мне. Он разделит его на 11.
— Думаете опять повезет – разделится? - Делите, остатка не получится. — в самом деле без остатка! Теперь что?
— Передайте результат дальше. Разделим его... ну, скажем, на 13.
— Нехорошо выбрали. Без остатка на 13 мало чисел делится... Ан, нет, разделилось нацело. Везет же вам!
— Дайте мне бумажку с результатом; только сложите ее, чтобы я не видел числа.
Не развертывая листа бумаги, «фокусник» вручил его председателю.
— Извольте получить задуманное вами число. Правильно?
— Совершенно верно! - с удивлением ответил тот, взглянув на бумажку.
— Именно это я и задумал... теперь, так как список ораторов исчерпан, позвольте закрыть наше собрание, благо и дождь успел пройти. Разгадки всех головоломок будут оглашены сегодня же, после ужина. Записки с решениями можете подавать мне.
Проследим за тем, что проделано было с задуманным числом. Прежде всего к нему приписали взятое трехзначное число еще раз. Это то же самое, что приписать три нуля и прибавить затем первоначальное число; например:
872 872 = 872 000 + 872.
Теперь ясно, что собственно проделано было с числом: его увеличили в 1000 раз и, кроме того, прибавили его самого; короче сказать - умножили число на 1001.
Что же сделано было потом с этим произведением? Его разделили последовательно на 7, на 11 и на 13. В конечном итоге, значит, разделили его на 7 х 11 х 13, т. е. на 1001.
Итак, задуманное число сначала умножили на 1001, потом разделили на 1001. Надо ли удивляться, что в результате получилось то же самое число?
Из книги Я.И. Перельмана "Живая математика - 1967"
